因数幂和函数

1. 概述

于 初等数论 中, 因数幂和函数 对一个正整数的正因数幂求和. 它同时包含因数个数函数与因数和函数, 并给出一族基本的 乘性函数.

2. 定义

定义 1 (因数幂和函数)

设 . 对任意 , 定义：

称 算术函数 为第 个 因数幂和函数.

记号 2 (因数个数函数与因数和函数)

因数幂和函数 也记为 , 称为因数个数函数; 常简记为 , 称为因数和函数.

3. 例子

例子 3 ( 的因数幂和)

的 正因数 为 , 因而：

这分别给出 因数幂和函数 在 时的取值.

4. 相关性质

命题 4 (因数幂和函数的基本公式)

设 . 因数幂和函数 满足：

1. 是 乘性函数;
2. 对任意 素数 与 , 有：
3. 若由 算术基本定理 写 , 则：

证明 5 (因数幂和函数的基本公式)

1. 若 , 则 的每个正因数唯一写成 , 其中 、. 因而：
2. 的正因数恰为 , 代入 因数幂和函数 的定义即得公式.
3. 由 算术基本定理, 各个 两两互素. 结论由第 1、2 条得到.
   

5. 相关概念

• 算术函数
• 乘性函数
• Dirichlet 卷积

6. 术语翻译

中文	英文
因数幂和函数	divisor power-sum function
因数个数函数	divisor-counting function
因数和函数	sum-of-divisors function

初等数论