Pell 方程

1. 概述

于 初等数论 中, Pell 方程 是形如 的 二次 Diophantine 方程. 它的解是相应圆锥曲线上的 整数点, 在二次无理数乘法下封闭, 并自然引向实二次整数环中的 单位 与代数数论.

2. 定义

定义 1 (Pell 方程)

设 不是完全平方数. 称未知量 的方程：

为参数 的 Pell 方程.

3. 例子

例子 2 (参数 )

是 Pell 方程 的解, 因为 . 由 还得到解 .

4. 相关性质

命题 3 (Pell 方程解的乘法)

设 与 都是参数 的 Pell 方程 的整数解. 则：

也是整数解.

证明 4 (Pell 方程解的乘法)

令 、. 直接展开可得：

因而 满足 Pell 方程.

定理 5 (Pell 方程的非平凡解)

对每个不是完全平方数的 , 参数 的 Pell 方程 都存在满足 、 的整数解.

注记 6 (连分数方法)

Pell 方程的非平凡解 的标准证明来自 的周期连分数展开; 这也是连分数与代数数论之间的基本联系.

推论 7 (一个非平凡正解产生无穷多解)

若参数 的 Pell 方程 存在满足 、 的整数解, 则它有无穷多个正整数解.

证明 8 (一个非平凡正解产生无穷多解)

对每个 , 将 定义为 . 反复使用 Pell 方程解的乘法 可知每个 都是正整数解, 且 , 故这些解两两不同.

5. 相关概念

• Diophantine 方程
• 整数
• 数论
• 算术几何
• 整数点
• 圆锥曲线的有理参数化

6. 术语翻译

中文	英文
Pell 方程	Pell equation

初等数论