单位

1. 概述

于 环论 中, 单位 是关于乘法可逆的环元素. 一个交换环是 域 当且仅当它的每个非零元都是单位.

2. 定义

定义 1 (单位)

设 为 环, . 称 为 的 单位, 当存在 使：

此时称 为 的乘法逆元.

记号 2 (单位与逆元)

对 单位 , 其乘法逆元记为 ; 的全部单位所成的集合记为 .

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 整数环 的 单位 只有 与 ;
• 域 的单位群为 ;
• 在 整数模 环 中, 是单位当且仅当 .

4. 相关性质

命题 4 (单位的基本性质)

设 为 环, 则：

1. 单位 的乘法逆元唯一;
2. 若 , 则 且 ;
3. 在乘法下构成 群.

证明 5 (单位的基本性质)

1. 若 都是 的逆元, 则 .
2. 计算 , 故结论成立.
3. 乘法结合律从 继承, 幺元为 , 封闭性与逆元由 (1)、(2) 给出.
   

命题 6 (单位与主理想)

设 为 交换环, . 则 是 定义 1 (单位) 当且仅当 主理想 .

证明 7 (单位与主理想)

充分性 ( )

若 是 单位, 则 , 所以 .

必要性 ( )

若 , 则 , 所以存在 使 , 即 是单位.

5. 相关概念

• 域
• 局部环
• 相伴元

6. 术语翻译

中文	英文
单位	unit
单位群	group of units