一致连续

1. 概述

于 数学分析 中, 一致连续 要求同一个误差尺度 同时适用于定义域中的所有点, 因此强于逐点连续. 它是交换极限与连续操作的重要条件.

2. 定义

定义 1 (一致连续)

设 , 为 映射. 称 在 上 一致连续, 当：

3. 例子

例子 2 (连续但非一致连续)

映射 , 是 连续函数, 但不是 一致连续. 取 、, 则 , 而 .

4. 相关性质

定理 3 (Heine--Cantor 定理)

闭区间 上的每个 连续函数 都 一致连续.

证明 4 (Heine--Cantor 定理)

若不 一致连续, 则存在 以及序列 , 使 , 但 . 由 Bolzano—Weierstrass 定理, 有子列 , 且 . 连续性给出 , 矛盾.

5. 相关概念

• 连续函数；
• 一致收敛.

6. 术语翻译

中文	英文
一致连续	uniform continuity

数学分析