序列极限

1. 概述

于 数学分析 中, 序列极限 描述一个 序列 的项在序号趋于无穷时任意接近某个确定值. 它是函数极限、连续性、导数、积分与级数收敛的基础.

2. 定义

定义 1 (序列极限)

设 为实 序列, . 称 收敛于 , 或称 为 的 极限, 当：

记号 2 (序列极限)

序列 收敛 于 记为 或 .

3. 例子

例子 3 (倒数序列)

序列 满足 . 事实上, 对任意 , 由 Archimedes 性质 可取 , 于是 时 .

4. 相关性质

命题 4 (极限的基本性质)

设 、, . 则：

1. 序列极限 是唯一的；
2. 且 ；
3. ；
4. 若 且 , 则 ；
5. 若最终恒有 , 则 .

证明 5 (极限的基本性质)

对 序列极限：

1. 若同时有 与 , 取 并使用三角不等式, 即得 .
2. 由 ；标量乘法同理.
3. 由 收敛序列有界 以及：

4. 由 可知最终有 , 先证 , 再用 (3).
5. 若 , 取 , 则充分大的 满足 , 矛盾.

定理 6 (夹逼定理)

设最终恒有 . 若 且 , 则 .

证明 7 (夹逼定理)

对任意 , 充分大的 同时满足 , 故由 序列极限 的定义得证.

定理 8 (单调收敛定理)

单调递增的实 序列 收敛 当且仅当它有上界；单调递减情形对偶成立.

证明 9 (单调收敛定理)

必要性由 收敛序列有界 得到. 反之, 若 单调递增且有上界, 令 . 对任意 , 不是上界, 故存在 使 ；于是 时 , 即按 序列极限 定义有 .

定理 10 (Bolzano--Weierstrass 定理)

每个实 有界序列 都存在 收敛 的 子列.

证明 11 (Bolzano--Weierstrass 定理)

将包含所有 的闭区间反复二等分, 每次选择含有无穷多项的一半. 所得闭区间套长度趋于 , 由 实数完备性 有唯一公共点 . 依次从第 个区间中选取序号严格递增的项 , 则按 序列极限 定义有 .

5. 相关概念

• Cauchy 序列；
• 函数极限；
• 无穷级数.

6. 术语翻译

中文	英文
序列极限	limit of a sequence

数学分析