1. 概述
于 数学分析 中, 隐函数定理 把非退化方程组的解局部表示为函数图像. 它是约束曲面、子流形和局部坐标构造的基础.
2. 定义
定义 1 (隐函数定理)
设
为开集, 为 映射, , , 且关于 的 Jacobian 矩阵 可逆. 则存在 的 邻域 与 的 邻域 , 满足 , 以及唯一的 映射 , 使对所有 ：
记号 2 (隐函数定理)
隐函数
的导数满足：
3. 例子
例子 3 (圆的局部图像)
方程
在 的点附近可唯一写成 , 因为 .
4. 相关性质
定理 4 (正则值的局部水平集)
若
满足上述条件, 则 在 附近是一个维数为 的光滑流形局部模型.
证明 5 (正则值的局部水平集)
应用 逆函数定理 于
, 其 Jacobian 在 处可逆. 因而 给出局部坐标, 在这些坐标中 等价于最后 个坐标为零.
5. 相关概念
- 逆函数定理;
- Jacobian 矩阵;
- 全微分;
- 秩定理.
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 隐函数定理 | implicit function theorem |
| 正则值 | regular value |
| 水平集 | level set |