导数

1. 概述

于 数学分析 中, 导数 是函数在一点附近的一阶线性变化率. 它由差商的 函数极限 定义, 并用于刻画切线、单调性、极值及局部近似.

2. 定义

定义 1 (导数)

设 为区间, 为 映射, 为 的内点. 若 函数极限：

存在, 则称 在 处 可导, 并称 为 在 处的 导数.

记号 2 (Lagrange 记号)

设 为 开区间, 可导. 的 导数 所成的函数记为 , 在 处的值记为 ; 特别地, 表示在指定点 处的导数.
若 二阶可导, 则二阶导数记为 . 对正整数 , 若 为 阶可导, 则 阶导数记为 , 其在 处的值为 ; 约定 .

记号 3 (Leibniz 记号)

设 为 开区间, 可导, , 并写 . 关于自变量 的 导数 常记为：

在指定点 处的导数可写为 . 这里 是求导记号, 不是两个普通 实数 与 的比值.
对正整数 , 若 为 阶可导, 则也写 .

记号 4 (求导算子记号)

设 为 开区间, 可导. 用 表示关于 求 导数 的算子, 写作 ; 自变量明确时简记为 .
对正整数 , 若 为 阶可导, 则记 , 也可简记为 . 这里 表示对同一自变量连续求导 次, 而不是函数值的普通 次幂.

记号 5 (Newton 点记号)

设 为 开区间, 可导, 并以 为时间变量. 关于 的 导数 常用上方的点表示：

若 二阶可导, 则写：

3. 例子

例子 6 (常数)

设 , 并定义函数 为 . 则 在每一点的 导数 均为：

例子 7 (幂函数)

对正整数 , 函数 定义为 . 它的 导数 为：

这可由二项式展开差商后令 得到.

例子 8 (指数函数)

定义函数 为 . 它的 导数 为：

例子 9 (对数函数)

定义函数 为 . 它的 导数 为：

例子 10 (三角函数)

定义函数 为 与 . 它们的 导数 分别为：

4. 相关性质

命题 11 (求导规则)

设 在 处具有 导数, . 则以下求导规则成立：

1. 线性法则：若 在 处可导, 则 , 且 ;
2. 乘积法则：若 在 处可导, 则 ;
3. 商法则：若 在 处可导且 , 则 ;
4. 链式法则：若 在 处可导, 且 在 的某个邻域内有定义, 则 .

证明 12 (求导规则)

对 导数 的差商：

1. 和的差商满足：

按 函数极限 的 定义, 对任意 , 分别取 , 使 时第一个差商与 的差的绝对值小于 , 且 时第二个差商与 的差的绝对值小于 . 令 , 由三角不等式可知和的差商与 的差的绝对值小于 . 因此 . 若 , 数乘结论显然成立; 若 , 取 使 时 的差商与 的差的绝对值小于 , 再乘以 即得 .
2. 在差商中加减 , 再分别取极限.
3. 先由 连续性 得到 , 再通分并使用 (2).
4. 令 . 由 在 处可导, 定义：

则当 时, . 又由 可导蕴含连续, . 对所有充分小的 , 包括 的情形, 均有：

令 即得 .

注记 13 (Leibniz 记号下的求导规则)

设 为 开区间, 可导, , . 求导规则 在 Leibniz 导数 记号下可重述为：

1. 线性法则：
2. 乘积法则：
3. 商法则：当 时：
4. 链式法则：另设 为开区间, 与 可导, 并写 , . 则： 这里 在 处取值. 该式来自复合求导, 不是分数消去, 无需假设 .

命题 14 (可导蕴含连续)

若 在 处具有 导数, 则 在 处满足 连续函数 的条件.

证明 15 (可导蕴含连续)

按 导数 定义, 写成 并令 .

定理 16 (Lagrange 中值定理)

设 . 若 在 上 连续, 且在 上具有 导数, 则存在 使：

证明 17 (Lagrange 中值定理)

令 , 并置 . 则 . 由 最值定理, 若 非常值, 它在内部取得最大值或最小值. 由 导数 定义, 内部极值点 满足 . 若 为常值则任取内部点, 均得到结论.

定理 18 (Taylor 公式)

设 为非负整数, 为开区间, 且 . 若 在 上具有 阶 导数, 则存在严格介于 与 之间的 , 使：

证明 19 (Taylor 公式)

令余项为 , 并选取常数 . 定义辅助函数：

于是 , 且 . 连续应用 Lagrange 中值定理 的 Rolle 特例 次, 得到某个严格介于 与 之间的 使 , 从而 .

5. 相关概念

• 连续函数；
• Riemann 积分.

6. 术语翻译

中文	英文
导数	derivative

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