函数极限

1. 概述

于 数学分析 中, 函数极限 描述自变量趋近某点时函数值的稳定趋势, 而不要求函数在该点有定义. 它把 序列极限 推广到连续变量, 并构成连续与微分的基础.

2. 定义

定义 1 (函数极限)

设 , 为 映射, 为 的聚点, . 称 在 处的 极限 为 , 当：

记号 2 (函数极限)

函数 在 处的 极限 为 记为 .

3. 例子

例子 3 (可约去的因子)

对 , 尽管 在 处没有定义, 仍有 函数极限：

4. 相关性质

定理 4 (Heine 判别法)

设 为 的聚点. 则 当且仅当对每个满足 且 的 序列, 都有 .

证明 5 (Heine 判别法)

充分性 ( )

由 函数极限 的 — 定义, 对任意 直接得到 .

必要性 ( )

若函数极限不为 , 则存在 , 使每个 内都可选取 满足 且 . 此时 , 但 , 矛盾.

命题 6 (函数极限的代数规则)

若 、, 则其和、差、积与商的 函数极限 遵循 序列极限的基本性质；商的情形要求 且 在充分靠近极限点处非零.

证明 7 (函数极限的代数规则)

由 Heine 判别法 将结论化为序列极限的相应规则.

5. 相关概念

• 连续函数；
• 导数.

6. 术语翻译

中文	英文
函数极限	function limit

数学分析