多元变量替换公式

1. 概述

于 数学分析 中, 多元变量替换公式 描述坐标变换如何改变 多重 Riemann 积分. Jacobian 行列式的绝对值给出局部体积的伸缩因子, 是曲面参数化与流形积分的分析原型.

2. 定义

定义 1 (多元变量替换公式)

设 为有界开集, 为 微分同胚, 且其 Jacobian 矩阵 满足 对所有 成立. 设 为有界函数, 并假设 在 外取零后的延拓以及 在 外取零后的延拓在包含相应闭包的紧矩形上的 多重 Riemann 积分 均存在. 则：

其中两侧积分均由上述零延拓的多重 Riemann 积分定义.

3. 例子

例子 2 (线性伸缩)

取 , , 并令 . 此时 . 对常值函数 , 多元变量替换公式 给出：

4. 相关性质

命题 3 (复合坐标变换的体积因子)

设 与 为 微分同胚. 则 多元变量替换公式 的 Jacobian 体积因子满足：

证明 4 (复合坐标变换的体积因子)

由 多元链式法则, 有 . 对等式两边取 行列式, 再取绝对值即得, 这正是连续两次应用 多元变量替换公式 时的体积因子.

5. 相关概念

• 多重 Riemann 积分;
• Fubini 定理;
• Jacobian 矩阵;
• 多元链式法则.

6. 术语翻译

中文	英文
多元变量替换公式	change-of-variables formula
微分同胚	diffeomorphism
Jacobian 体积因子	Jacobian volume factor

数学分析