曲面积分

1. 概述

于 数学分析 中, 曲面积分 沿 参数曲面 累积标量密度或 向量场 的法向分量. 第一类曲面积分由曲面面积控制, 第二类曲面积分表示穿过定向曲面的通量.

2. 定义

定义 1 (第一类曲面积分)

设 为开集, 为紧矩形, 在 的某开邻域上给出 参数曲面, 且 并在 上单射. 设 为 连续函数. 称：

为 在该曲面片上的 第一类曲面积分.

定义 2 (第二类曲面积分)

设 为开集, 为紧矩形, 在 的某开邻域上给出 参数曲面, 且 并在 上单射. 以 选择曲面片的定向, 并设 为连续 向量场. 称：

为 穿过该定向曲面片的 第二类曲面积分 或通量积分.

3. 例子

例子 3 (平面矩形的面积与通量)

设 且 . 令 , , 则 . 因而常值函数 的 第一类曲面积分 为 . 对常向量场 , 第二类曲面积分 为 .

4. 相关性质

命题 4 (曲面积分在重新参数化下的变化)

设 为开集, 为紧矩形, 参数曲面 定义在 的某开邻域上, 且 并在 上单射. 设 是 与 的相应开邻域之间的 微分同胚, 且 . 对 连续函数 与连续 向量场 , 则：

1. 第一类曲面积分 满足 ;
2. 若 于 上成立, 则 与 诱导相同定向, 且 第二类曲面积分 相等; 若 于 上成立, 则二者诱导相反定向, 且相应的第二类曲面积分互为相反数.

证明 5 (曲面积分在重新参数化下的变化)

1. 对 , 复合参数化满足：

因而其面积因子等于 . 在 与 的内部应用 多元变量替换公式, 并注意矩形边界不影响 Riemann 积分, 即得 第一类曲面积分 的等式.
2. 定向面积向量包含 而非其绝对值. 由于 连通且 连续且处处非零, 其符号在 上恒定. 对定义 第二类曲面积分 的积分应用变量替换, 正号给出相同定向及相同积分值, 负号给出相反定向及相反积分值.

5. 相关概念

• 参数曲面;
• 向量场;
• 多重 Riemann 积分;
• 多元变量替换公式.

6. 术语翻译

中文	英文
曲面积分	surface integral
第一类曲面积分	scalar surface integral
第二类曲面积分	flux integral
通量	flux

数学分析