分式域

1. 概述

于 环论 中, 分式域 是把 整环 的每个非零元素变为单位所得的最小 域. 它是 局部化 的基本特例.

注记 1 (动机)

正如从 整数环 扩大到 有理数 后可以进行非零整数的除法, 对一般 整环 也希望在不破坏原有等式的前提下补入所有非零元素的逆元. 分式域 给出实现这一目标的最小 域 环境.

注记 2 (直观理解)

分式域 中的元素可看成比值 , 其中 来自原 整环 且 . 两个比值是否相同仍由交叉相乘判断, 因而它保留了普通分数运算的图景.

注记 3 (方法与视角)

可把 分式域 视为关于全部非零元素的 局部化, 并通过 局部化的泛性质 将 整环 到 域 的 环单同态 唯一延拓. 对 多项式环 应用这一构造会得到作为 函数域 基本例子的有理函数域, 并为研究 代数簇 提供基本入口.

2. 定义

定义 4 (分式域)

设 为 整环, . 称 局部化：

为 的 分式域.

3. 例子

例子 5 (有理数域)

整数环 的 分式域 是 有理数 域 .

例子 6 (有理函数域)

若 为 域, 则 多项式环 的 分式域 记为 , 称为一元有理函数域.

4. 相关性质

命题 7 (分式域的泛性质)

设 为 整环, 为 域, 为 环单同态, 并令 为典范单同态. 则存在唯一环单同态 , 使得下图 交换：
\xymatrix{
R \ar[r]^{\iota} \ar[dr]_{f} & \operatorname{Frac}(R) \ar@{—>}[d]^{\widetilde f} \
& K
}

该同态显式给出为：

延拓 .

证明 8 (分式域的泛性质)

存在性

因 是环单同态, 每个非零 的像 非零, 从而在域 中可逆. 由 局部化的泛性质, 命题中的公式定义一个延拓 的环同态 . 若 , 则 , 再由 的单射性得 , 故 ; 因此 是 环单同态.

唯一性

若环同态 延拓 , 则对任意 ：

故 .

5. 相关概念

• 整环
• 域
• 局部化
• 多项式环

6. 术语翻译

中文	英文
分式域	field of fractions