整数环

1. 概述

于 环论 中, 整数环 是 整数 集合 配备通常加法与乘法所得的 环. 它是整除理论、主理想 和 商环 的基本模型.

2. 定义

定义 1 (整数环)

称资料 为 整数环, 其中 与 分别为整数的通常加法与乘法.

3. 例子

例子 2 (整数环中的元素)

都是 定义 1 (整数环) 的元素; 其中 与 是 单位, 而 不是单位.

4. 相关性质

命题 3 (整数环的理想)

的每个 理想 都唯一地写成 的形式, 其中 .

证明 4 (整数环的理想)

存在性

若 , 则 . 若 , 取 中最小的正整数 . 对任意 , 由带余除法写成 , 其中 . 因为 , 的最小性迫使 , 故 ; 反向包含由 得到. 因此 .

唯一性

若 且 , 则其中一个为 当且仅当另一个为 . 当二者非零时, 与 都是该理想的最小正整数, 故 .

推论 5 (整数环是主理想环)

整数环 是 主理想环.

5. 相关概念

• 整数
• 整环
• 主理想环
• 整数模 环

6. 术语翻译

中文	英文
整数环	ring of integers