内积空间

1. 概述

于 线性代数 中, 内积空间 是附带正定配对的实或复 线性空间, 将 Euclid 空间 的长度与正交结构推广到抽象向量.

2. 定义

定义 1 (内积空间)

设 为 或 上的 线性空间. 若配对 满足以下条件, 则称带此配对的 为 内积空间：

• 对第一变量线性;
• ;
• 为非负实数, 且仅在 时为零.
  实数情形的共轭不起作用.

3. 例子

例子 2 (基本例子)

Euclid 空间 是实 内积空间. 在 上, 给出符合本页第一变量线性约定的复内积.

4. 相关性质

命题 3 (Cauchy–Schwarz 不等式)

在 内积空间 中, 对任意 有：

证明 4 (Cauchy–Schwarz 不等式)

若 , 结论直接成立. 否则令 . 利用 内积空间 的正定性展开 , 得到 .

命题 5 (正交归一基的存在)

每个 有限维 内积空间 都有正交归一 基. 对任意基依次减去在此前单位正交向量上的分量, 再除以剩余向量的长度, 即 Gram–Schmidt 过程.

5. 相关概念

• Euclid 空间
• 正交性
• Gram 矩阵
• 谱定理

6. 术语翻译

中文	英文
内积空间	inner product space