Jordan 标准形

1. 概述

于 线性代数 中, Jordan 标准形 用分块上三角矩阵描述不一定 可对角化 的 线性变换, 细化了特征值信息.

2. 定义

定义 1 (Jordan 标准形)

设 为 域, , . 对角元全为 、紧邻上对角元全为 、其余元素为 的 方阵 为 Jordan 块 . 有限个此类块组成的分块对角矩阵称为 Jordan 标准形.

3. 例子

例子 2 (基本例子)

方阵 已是 Jordan 标准形. 它有重 特征值 , 但不是 可对角化 的矩阵.

4. 相关性质

定理 3 (Jordan 标准形定理)

设 为 域 上的 有限维线性空间, 为其 线性变换. 若 特征多项式 在 上分裂为一次因子的乘积, 则 存在 Jordan 标准形, 且除块的排列顺序外唯一.

命题 4 (Jordan 块与多项式)

设 线性变换 的 Jordan 标准形 对特征值 含块大小 . 则：

1. 特征多项式 中 的指数为 ;
2. 最小多项式 中 的指数为 ;
3. 对应 特征空间 的维数为 .

证明 5 (Jordan 块与多项式)

1. 每块为上三角 方阵, 其特征多项式为 , 各块相乘给出结论.
2. 对一个块, 而其 次幂非零. 消去所有块需要每个特征值的最大指数.
3. 每个 块的特征空间有一维; 不同特征值的块对 可逆, 不贡献核.
   

5. 相关概念

• 可对角化
• 最小多项式
• 特征空间

6. 术语翻译

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Jordan 标准形	jordan normal form