1. 概述 于 线性代数 中, 特征多项式 是利用 行列式 把 线性变换 的特征值问题转化为多项式求根的工具. 2. 定义 定义 1 (特征多项式) 设 为 域 上的 方阵. 多项式 称为 的 特征多项式. 对 有限维线性空间 上的 线性变换, 取其任意基下的表示矩阵定义特征多项式. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 对 方阵 , 特征多项式 为 . 4. 相关性质 命题 3 (特征多项式与基无关) 相似 方阵 与 有相同 特征多项式. 证明 4 (特征多项式与基无关) . 应用 行列式的基本性质 第 2 条即得结论. 命题 5 (特征值是特征多项式的根) 对 域 上的 方阵 与 , 是 特征值 当且仅当其 特征多项式 满足 . 证明 6 (特征值是特征多项式的根) 充分性 ( ) 非零特征向量属于 , 故 不可逆. 由 可逆性的行列式判别 得行列式为零. 必要性 ( ) 行列式为零使 不可逆. 有限维情况下由 秩—零化度定理 得它的核非零, 其中非零向量即特征向量. 5. 相关概念 特征值 线性变换的最小多项式 Cayley–Hamilton 定理 6. 术语翻译 中文英文特征多项式characteristic polynomial