1. 概述 于 线性代数 中, 初等矩阵 将一次初等行变换编码成 矩阵 乘法, 是 高斯消元 的代数工具. 2. 定义 定义 1 (初等矩阵) 设 为 域, 为单位 方阵. 对 实施一次交换两行、用非零标量乘一行、或将一行的倍数加到另一行后得到的方阵称为 初等矩阵. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 实 方阵 是 初等矩阵. 对有两行的 矩阵 , 左乘 把 的第一行的三倍加到第二行. 4. 相关性质 命题 3 (初等矩阵可逆) 每个 初等矩阵 都有 逆矩阵, 且逆矩阵仍是初等矩阵. 证明 4 (初等矩阵可逆) 交换两行的逆操作是同一次交换; 非零倍乘的逆操作是乘倒数; 加上另一行 倍的逆操作是加上其 倍. 因此逆操作对应的 初等矩阵 就是所求逆矩阵. 命题 5 (可逆矩阵的初等分解) 每个 域 上的可逆 方阵 都是有限个 初等矩阵 的乘积. 可用 高斯消元 将该方阵化为单位矩阵, 再反向恢复得到分解. 5. 相关概念 高斯消元 逆矩阵 矩阵 6. 术语翻译 中文英文初等矩阵elementary matrix