1. 概述 于 线性代数 中, 高斯消元 利用初等行变换把 矩阵 化为阶梯形, 用于求解 线性方程组、计算秩与逆矩阵. 2. 定义 定义 1 (高斯消元) 设 为 域 上的有限 矩阵. 逐列选择非零主元, 通过交换行、用非零标量乘行、加上另一行的倍数来消去主元下方元素, 并继续处理右下子矩阵的过程称为 高斯消元. 若再把主元化为 并消去其上方元素, 则得到简化阶梯形. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 对实 线性方程组 , , 高斯消元 将增广矩阵第二行减去第一行的两倍, 得到 , 故 、. 4. 相关性质 命题 3 (消元保持解集) 对 线性方程组 的增广矩阵实施 高斯消元 中的每个初等行变换, 都不改变解集. 证明 4 (消元保持解集) 左乘相应 初等矩阵 把 变为 . 因 有 逆矩阵, 两组方程互相推出, 解集相同. 命题 5 (终止与主元) 高斯消元 对 矩阵 至多选择 个主元后终止. 最终主元数等于 矩阵的秩. 5. 相关概念 初等矩阵 线性方程组 矩阵的秩 6. 术语翻译 中文英文高斯消元gaussian elimination