群论中的基本例子

1. 数域上的例子

例子 1 (常见数域的例子)

• 连同加法, 连同乘法构成 交换幺半群, 而非 群.
• 连同它们的加法皆构成 交换群.
• 设 为 域 (如 ), 则 连同乘法构成 交换群 (如 ). 类似的结论对 及 亦成立.

2. 矩阵的例子

例子 2 (矩阵的例子)

下设 为任意 域：

• 上所有 矩阵 的 集合 连同 矩阵 > ^ade7bc 构成 交换群.
• 上所有 方阵 的集合 连同 矩阵 > ^744fd4 构成 幺半群, 其幺元为 单位矩阵.
• 上全体 可逆方阵 的集合 连同矩阵乘法构成 一般线性群, 并且正是 的 单位群, 而当 时非交换.

3. 几何上的例子

4. 拓扑上的例子

TODO

• 设 为任意集, 记 , 则：

  • 连同映射复合构成群, 而当 时该群非交换;
  • 特别地若 有限, 记 并称其为 阶 对称群 (symmetric group) 或 置换群 (permutation group);
  • 中恰好有 个元素, 我们亦称有限, 如 个元素的群 为 阶有限群, 集合 中元素个数则为 群的阶 (order of group), 记为 .

• 设 为任意集且 为群, 记 , 若定义有二元运算 , 其中 , 则：

  • 连同该二元运算构成群, 称之为 上的 -值函数 (-valued functions on );
  • 类似地, 亦构成群, 显然当 有限时 ;
  • 若 本身是交换的, 则 与 继承了交换性.

• 令 任意指标集且 为一族群, 它们的笛卡尔积 连带以下二元运算构成群：

  称之为一族群 的 直积 (direct product).

  • 特别地当任意的群 皆为 时, 我们有 ;
  • 若 有限, 如设为 , 记上述的 或 为 .