交换群

1. 概述

于 群论 中, 交换群 是其 二元运算 额外满足 交换律 的 群. 交换群通常采用加法记号, 幺元记为 , 元素 的逆元记为 .

2. 定义

定义 1 (交换群)

设 为 群. 称 为 交换群 或 Abel 群, 当其运算满足 交换律, 即：

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 整数加法群 为 定义 1 (交换群);
• 对任意 , 整数模 加法群 为有限交换群;
• 任意 向量空间 在向量加法下构成交换群.

例子 3 (非例)

当 时, 对称群 不是 交换群; 例如在 中, .

4. 相关性质

命题 4 (交换性在常用构造下保持)

1. 交换群 的每个 子群 仍为交换群;
2. 交换群对任意 正规子群 的 商群 仍为交换群;
3. 一族交换群的 直积 仍为交换群.

证明 5 (交换性在常用构造下保持)

1. 子群的运算是原群运算的限制, 因而继承 交换律.
2. 对任意陪集 , 有 .
3. 直积的运算按分量进行, 而每个分量上的运算都可交换.
   

命题 6 (乘积的逆元)

设 为 定义 1 (交换群), 则对任意 有 .

证明 7 (乘积的逆元)

由 群的基本性质 的 (5) 有 , 再由交换律得 .

5. 相关概念

• 群
• 交换幺半群
• 循环群

6. 术语翻译

中文	英文
交换群 / Abel 群	abelian group