交换幺半群

1. 概述

于 群论 中, 交换幺半群 就是一个 幺半群, 且满足额外的 交换律.

从 范畴论 的视角看, 交换幺半群可视为只有一个 对象、且该对象的全体 自态射 在 复合态射 下可交换的 范畴.

2. 定义

定义 1 (交换幺半群)

设 幺半群 , 称 为 交换幺半群, 当其 二元运算 额外满足 交换律, 即：

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 自然数 集合 连同加法构成 交换幺半群 , 其幺元为 ;
• 自然数集合 连同乘法构成 交换幺半群 , 其幺元为 ;
• 设 为 集合, 则其 幂集 连同 并集 构成交换幺半群 , 其幺元为 空集 ; 连同 交集 则构成交换幺半群 , 其幺元为 .

4. 相关性质

命题 3 (幂的运算律)

设 为 交换幺半群, 为其幺元. 对任意 以及 , 有：

1. ;
2. ;
3. .

证明 4 (幂的运算律)

1. 依幂的定义, .
2. 对 使用 数学归纳法. 当 时, ; 若 , 则由 结合律 有 .
3. 对 使用数学归纳法. 当 时, ; 若 , 则由结合律与 交换律 有 .
   

命题 5 (有限乘积与次序无关)

设 为 交换幺半群, 且 , . 对任意 置换 , 有：

证明 6 (有限乘积与次序无关)

由 结合律 可省略乘积中的括号, 再反复使用 交换律 交换相邻因子即可.

命题 7 (单位群的交换性)

设 为 交换幺半群, 则其 单位群 为 交换群.

证明 8 (单位群的交换性)

在 的运算下构成 群, 而该运算从 继承 交换律, 因此 为交换群.

5. 相关概念

• 幺半群 (非 交换律 的版本)
• 对称幺半范畴

6. 术语翻译

中文	英文
交换幺半群	commutative monoid