全集

1. 概述

在一段固定的集合论讨论中, 全集 是包含当前讨论所涉及全部元素的 集合. 全集依赖于所选语境; 例如研究实数子集时常取 为全集, 研究整数子集时则可取 为全集.

在通常的 Zermelo-Fraenkel 集合论 中不存在“包含一切集合的集合”, 因而全集不能脱离论域被理解为绝对的最大集合.

2. 定义

定义 1 (全集)

给定一个讨论范围, 若 集合 满足该范围内的每个对象都属于 , 则称 为该范围的 全集 或 论域. 在只讨论 的 子集 时, 就是这些集合的全集.

3. 例子

例子 2 (实数上的全集)

讨论 与 等实数子集时, 可取 . 此时 相对于 的 补集 为

4. 相关性质

命题 3 (全集与补集的基本性质)

设 为 全集, 为 的 子集, 并记其 补集 为 , 则：

1. ;
2. ;
3. .

证明 4 (全集与补集的基本性质)

1. 对任意 , 要么 , 要么 而属于 , 因而 ; 反向包含显然.
2. 不存在元素既属于 又不属于 , 故 .
3. 对任意 , 有 , 由 外延公理 得结论.
   

注记 5 (全集是相对的)

若把 全集 从 改为更大的集合 , 同一集合 的补集通常也会从 改变为 .

5. 相关概念

• 补集
• 相对差集
• Russell 悖论
• 集合代数

6. 术语翻译

中文	英文
全集	universal set
论域	universe of discourse

集合论 逻辑学