子集

1. 概述

于 集合论 中, 子集 是一种 集合, 例如设为 , 它里边的所有 元素 都被包含于更大的集合 中, 我们就称 是 的子集 (或 是 的 超集).

2. 定义

定义 1 (子集)

设 为 集合, 称 为 的 子集 (或 为 的 超集), 当满足了 .

定义 2 (真子集)

设 为 集合, 为 的 定义 1 (子集) 且 , 则称 为 的 真子集 (或 为 的 真超集).

记号 3 (子集与真子集)

我们通常记：

• 为 的 定义 1 (子集) 为 , 或 为 的超集为 .
• 为 的 定义 2 (真子集) 为 , 或 为 的真超集为 .
• 有部分文章的作者除非特别注明, 否则不会区分真子集与子集, 直接将子集记为 (超集则为 ).

3. 例子

例子 4 (空集)

• 空集 是任何 集合 的 定义 1 (子集).

4. 相关性质

命题 5 (子集关系的基本性质)

设 为 集合, 则：

1. 自反性：;
2. 反称性：若 且 , 则 ;
3. 传递性：若 且 , 则 .

证明 6 (子集关系的基本性质)

1. 对任意 , 显然有 .
2. 两个包含关系说明 与 具有完全相同的元素, 由集合的 外延公理 得 .
3. 若 , 则由 有 , 再由 有 .
   

命题 7 (真子集的等价条件)

设 为 集合, 则：

证明 8 (真子集的等价条件)

充分性 ( )

若 是 的 真子集, 则 且 . 若 相对差集 , 则 , 结合 反称性 将推出 , 矛盾; 故 .

必要性 ( )

若 是 的 子集, 且存在 , 则 而 , 故 , 从而 是 的真子集.

5. 相关概念

• 集合;
• 幂集;
• 相对差集.

6. 术语翻译

中文	英文
子集	subset
超集	superset

集合论