余可数拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 余可数拓扑 以补集可数为开集条件. 在不可数集合上, 它提供一个 但非 Hausdorff 的经典例子.

2. 定义

定义 1 (余可数拓扑)

设 为 集合. 称：

为 上的 余可数拓扑.

3. 例子

例子 2 (实数上的余可数拓扑)

在 实数 集合 上, 是 余可数拓扑 的 开集, 因为 有理数 集合 可数.

4. 相关性质

命题 3 (不可数余可数空间的基本性质)

设不可数 集合 具有 余可数拓扑. 则：

1. 是 T1 空间;
2. 任意两个非空 开集 相交;
3. 是 连通空间, 但不是 Hausdorff 空间.

证明 4 (不可数余可数空间的基本性质)

1. 单点集可数, 故其补集开.
2. 两个非空开集补集的并仍可数, 不可能等于不可数集 .
3. 第 2 条排除了不交的非空开集, 因而空间连通; 同时任意两个不同点都无法拥有不交开邻域.
   

5. 相关概念

• 余有限拓扑
• 可数集
• T1 空间
• 连通空间

6. 术语翻译

中文	英文
余可数拓扑	cocountable topology

一般拓扑