可数集

1. 概述

在 集合论 中, 可数集 (或称 可列集) 是能够用 自然数 作为下标列出其全部 元素 的 集合. 可数集包括 有限集 与可数 无限集; 比可数集更大的集合称为 不可数集.

2. 定义

定义 1 (可数集)

设 为 集合, 若

则称 为 可数集. 等价地, 是 有限集, 或者存在从 到 的 满射.

别名 2 (可数无限集)

若 定义 1 (可数集) 满足 , 则称 为 可数无限集.

注记 3 (“可数”的两种约定)

有些文献只用“可数”表示 , 并将本文意义下的可数称为“至多可数”. 使用时应先确认上下文中的约定.

3. 例子

例子 4 (基本例子)

• 任意 有限集 都可数;
• , 与 都是可数无限集;
• 对任意正整数 , 仍然可数;
• 与 不可数.

4. 相关性质

命题 5 (可数性的基本保持性质)

设 为 可数集, 为映射, 则：

1. 的任意 子集 都可数;
2. 像集 可数;
3. 并集 可数.

证明 6 (可数性的基本保持性质)

1. 若 是 有限集, 结论显然. 若 可数无限, 可按 的一个枚举依次保留属于给定 子集 的项, 从而得到有限列或可数列.
2. 按 的枚举次序写出各项在 映射 下的像并删去重复项, 即可列出 ; 有限情形同理.
3. 分别列出 与 的元素并交替排列, 再删去重复项, 即可列出 并集 .
   

命题 7 (有限 Cartesian 积保持可数性)

有限多个 定义 1 (可数集) 的 Cartesian 积 仍然可数.

5. 相关概念

• 有限集, 无限集
• 不可数集
• 数
• 基数, 势, 序数
• 自然数

6. 术语翻译

中文	英文
可数集	countable set
可数无限集	countably infinite set
至多可数集	at most countable set

集合论