有向集

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 有向集 是任意有限多个指标都能被某个更后指标同时控制的预序集. 它把序列的自然数指标推广为适合一般拓扑的指标系统.

2. 定义

定义 1 (有向集)

设 为非空 集合, 为 上的 预序. 若对任意 , 都存在 使 且 , 则称 为 有向集.

3. 例子

例子 2 (自然数指标)

自然数 集合 配备通常的小于或等于关系时是 有向集, 因为 同时不小于 .

4. 相关性质

命题 3 (有限子集具有共同上界)

设 为 有向集. 则 的每个非空有限子集都具有一个共同上界.

证明 4 (有限子集具有共同上界)

对有限子集的元素个数使用 数学归纳法. 两个元素具有共同上界是定义; 每增加一个元素, 再对已有共同上界与新元素使用有向性即可.

5. 相关概念

• 网
• 预序
• 拓扑序列收敛
• 滤子

6. 术语翻译

中文	英文
有向集	directed set
共同上界	common upper bound

一般拓扑