滤子

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 滤子 是一族对有限交与扩大封闭的非空子集. 它通过记录“最终成立”的集合来表达收敛.

2. 定义

定义 1 (滤子)

设 为 集合, . 若：

1. 且 ;
2. 若 , 则 ;
3. 若 且 , 则 .
   称满足这些条件的 为 上的 滤子.

3. 例子

例子 2 (主滤子)

对非空子集 , 族 是 上的 滤子, 称为由 生成的主滤子.

例子 3 (邻域滤子)

对 拓扑空间 中的点 , 其 邻域 系 是 上的 滤子.

4. 相关性质

命题 4 (滤子包含全集)

设 为 上的 滤子. 则 .

证明 5 (滤子包含全集)

取 . 因 , 由滤子对扩大封闭得 .

命题 6 (有限交封闭)

滤子 中有限多个集合的交仍属于该滤子.

证明 7 (有限交封闭)

对集合个数使用 数学归纳法, 反复应用定义中的二元交封闭性.

5. 相关概念

• 滤子的收敛
• 网
• 邻域
• 有向集

6. 术语翻译

中文	英文
滤子	filter
主滤子	principal filter

一般拓扑