道路连通空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 道路连通空间 是任意两点之间都存在道路的拓扑空间. 道路连通性强于连通性, 并具有直观的逐点连接含义.

2. 定义

定义 1 (道路连通空间)

设 为 拓扑空间. 若对任意 , 都存在从 到 的 道路, 则称 为 道路连通空间.

3. 例子

例子 2 (凸集道路连通)

实数 线性空间 中的每个非空凸集都是 道路连通空间, 因为任意两点可由线段道路连接.

4. 相关性质

命题 3 (道路连通蕴含连通)

每个 道路连通空间 都是 连通空间.

证明 4 (道路连通蕴含连通)

固定 . 对每个 , 取从 到 的 道路 . 区间 连通, 故由 连续像保持连通, 连通. 这些像都含 , 且其并为 , 再由 具有公共点的连通子集之并连通 得 连通.

命题 5 (连续像保持道路连通)

道路连通空间 在 连续映射 下的像仍道路连通.

证明 6 (连续像保持道路连通)

对像中两点 , 取从 到 的道路 . 则 是连接 与 的道路.

5. 相关概念

• 道路
• 道路连通分支
• 连通空间
• 连通分支

6. 术语翻译

中文	英文
道路连通空间	path-connected space
道路连通性	path-connectedness

一般拓扑