八元数

1. 概述

于 一般数学 与 代数结构 中, 八元数 是由 四元数 进一步扩张得到的八维非结合数系. 它仍具有单位元与乘法范数, 但不满足结合律.

2. 定义

定义 1 (八元数)

令 . 对任意 , 定义 Cayley—Dickson 乘法：

令 , 单位元为 , 范数为：

该实代数作为实向量空间同构于 , 称为 八元数代数.

记号 2 (四元数共轭与范数)

八元数 的构造使用四元数共轭与平方范数. 对 , 定义：

3. 例子

例子 3 (Cayley--Dickson 构造)

将两个 四元数 组成有序对并赋予上述 Cayley—Dickson 乘法, 得到一个 八元数. 该乘法通常不满足 结合律, 但满足交替律.

4. 相关性质

命题 4 (八元数的范数复合)

对任意 八元数 , 有 .

推论 5 (非零八元数的逆元)

每个非零 八元数 都具有乘法逆元 .

证明 6 (非零八元数的逆元)

设非零 八元数 , 其中 为 四元数. 由定义中的乘法与共轭公式, 直接计算得：

因 , 有 , 故 同时为 的左逆元与右逆元.

5. 相关概念

• 四元数
• 代数结构
• 范数
• 非结合代数

6. 术语翻译

中文	英文
八元数	octonion
八元数代数	octonion algebra

数系