乘法闭集

1. 概述

于 环论 中, 乘法闭集 是包含幺元并对乘法封闭的元素集合. 指定乘法闭集就是指定在 局部化 中要强制变成 单位 的元素.

注记 1 (动机)

构造分式时, 可用分母必须在相乘后仍然可用, 否则分式的乘法与通分将失去统一的取值范围. 乘法闭集 正是用来记录一组彼此相容的允许分母.

注记 2 (直观理解)

可把 乘法闭集 想成一张分母清单： 对应不引入分母, 而对乘法封闭保证任意有限个允许分母的乘积仍在清单中. 排除 则避免在 局部化 后迫使整个环退化.

注记 3 (方法与视角)

常用的选择包括非 幂零元 的各次幂 , 以及 素理想 的补集 . 前者用于集中研究 可逆的部分, 后者用于提取 附近的局部代数信息.

2. 定义

定义 4 (乘法闭集)

设 为 交换环, . 称 为 乘法闭集, 当：

1. 且 ;
2. 对任意 , 有 .

3. 例子

例子 5 (由单个元素生成的乘法闭集)

对 , 若 不是 幂零元, 则 是 乘法闭集.

例子 6 (素理想的补集)

若 是 素理想, 则 是 乘法闭集.

4. 相关性质

命题 7 (生成的乘法闭集)

设 且 不属于由 中元素的有限乘积构成的集合. 则包含 的最小 乘法闭集 为：

其中空乘积取为 .

5. 相关概念

• 局部化
• 素理想
• 单位

6. 术语翻译

中文	英文
乘法闭集	multiplicatively closed set