模的局部化

1. 概述

于 模论 中, 模的局部化 允许指定乘法闭集中的环元素在模上可逆地作用. 它把 局部化 从环推广到模.

注记 1 (动机)

许多模的性质需要在环的不同局部区域分别检查, 但只局部化系数环还不足以追踪模中的元素与关系. 模的局部化 同步改变系数与模, 使这些局部问题仍能在模论中处理.

注记 2 (直观理解)

可把 看成模元素 带有一个来自 乘法闭集 的分母 . 当乘以某个允许分母后两个模元素变得相同时, 它们在 模的局部化 中便无法再被区分.

注记 3 (方法与视角)

模的局部化 可通过 张量积 来构造, 从而把交换环的局部化性质系统地传递给模. 特别地, 对各个 素理想 分别局部化, 常可将整体的生成、消失或 同态 问题化为 局部环 上的问题.

2. 定义

定义 4 (模的局部化)

设 为 交换环, 为 乘法闭集, 为 -模. 在 上规定 , 当存在 使 . 称等价类集合配备自然的 -模结构后所得的模为 关于 的 局部化.

记号 5 (模的局部化)

模的局部化 记为 , 的等价类记为 .

3. 例子

例子 6 (环作为模的局部化)

取 , 则 模的局部化 正是 局部化 作为自身的模.

4. 相关性质

命题 7 (局部化与张量积)

设 为 交换环, 为 乘法闭集, 为 -模. 则 模的局部化 与 张量积 之间存在自然 模同构：

证明 8 (局部化与张量积)

双线性映射 由 张量积 的泛性质诱导所示同态, 其逆映射由 给出.

5. 相关概念

• 局部化
• 张量积
• 素理想处的局部化
• 支集

6. 术语翻译

中文	英文
模的局部化	localization of a module