整元素

1. 概述

于 交换代数 中, 整元素 是满足底环上首一多项式方程的代数元素. 它把代数整数的概念推广到任意环扩张.

2. 定义

定义 1 (整元素)

设 为 交换环 扩张, . 若存在首一 多项式 , 使 , 则称 在 上是 整的, 或称 是 上的 整元素.

3. 例子

例子 2 (二次整元素)

元素 满足首一多项式 , 因而是 上的 整元素.

4. 相关性质

定理 3 (整性的有限模判别)

设 为 交换环 扩张, . 则 是 整元素, 当且仅当子代数 是有限生成 -模.

证明 4 (整性的有限模判别)

充分性 ( )

若 满足次数 的首一多项式, 则所有 可约化为 的 -线性组合, 故 作为 -模有限生成.

必要性 ( )

若 由有限多个元素生成, 乘以 给出该有限生成模的自同态. 行列式技巧产生一个以 为根的首一多项式.

5. 相关概念

• 整扩张
• 代数元
• 代数整数
• 整闭包

6. 术语翻译

中文	英文
整元素	integral element