多项式

1. 概述

于 环论 中, 多项式 是由系数与不定元的非负整数次幂组成的有限形式和. 它首先是形式代数对象, 未必由其在系数环上的取值函数唯一确定.

2. 定义

定义 1 (多项式)

设 为 交换环. 称 中一个有限支撑序列 所表示的形式和：

为 上关于不定元 的 多项式, 其中 称为 的系数. 全体这类多项式构成 多项式环 .

3. 例子

例子 2 (整系数多项式)

在 整数环 上, 有限支撑序列 表示 多项式 .

例子 3 (形式多项式不等于多项式函数)

设 为 素数. 在 有限域 上, 多项式 不是零多项式, 但它在每个 处都满足 , 因而与零多项式诱导相同的取值函数.

4. 相关性质

命题 4 (多项式相等的系数判据)

设 与 为 上的 多项式. 则 当且仅当对每个 都有 .

证明 5 (多项式相等的系数判据)

多项式 按定义是有限支撑的系数序列, 因而两个多项式相等恰好等价于其对应序列逐项相等.

命题 6 (整环上多项式根的个数上界)

设 为 整环, 为非零 多项式, 其中 . 则使 的 至多有 个.

证明 7 (整环上多项式根的个数上界)

对 使用 数学归纳法. 当 时结论显然. 若 且 , 则由恒等式 可写 , 其中 的最高非零幂次数至多为 . 对任意另一个根 , 有 . 因 是 整环 且 , 得 . 由归纳假设, 除 外至多还有 个根.

5. 相关概念

• 多项式环
• 交换环
• 整环
• 环同态

6. 术语翻译

中文	英文
多项式	polynomial
系数	coefficient
不定元	indeterminate

环论