Jacobi 符号

1. 概述

于 初等数论 中, Jacobi 符号 把 Legendre 符号 从奇素数分母推广到任意奇正整数分母. 它保留乘法性和二次互反律, 但取值为 不再保证分子是 二次剩余.

2. 定义

定义 1 (Jacobi 符号)

设 为 奇数 且 . 由 算术基本定理 写 , . 以 Legendre 符号 定义：

称 为 关于 的 Jacobi 符号.

3. 例子

例子 2 (Jacobi 符号为 但不是二次剩余)

由 Legendre 符号 的取值可得：

但 不是模 的 二次剩余, 所以同余式 无解. 因此 Jacobi 符号 为 只是二次剩余的必要条件, 不是充分条件.

4. 相关性质

命题 3 (Jacobi 符号的乘法性)

设 为 奇数, 且 , . 则 Jacobi 符号 满足：

1. ;
2. .

证明 4 (Jacobi 符号的乘法性)

1. 对 的每个 素因子 使用 Legendre 符号的基本性质 的第 2 条, 再按 Jacobi 符号 的定义相乘.
2. 将 的标准素因数分解合并, 直接按 Jacobi 符号 的定义整理乘积即得.
   

定理 5 (Jacobi 符号的二次互反律)

设 为 互素 的 奇数 且 . 则：

证明 6 (Jacobi 符号的二次互反律)

将 分解为 奇素数 的乘积, 对每一对素因子使用 二次互反律与补充律 的第 1 条, 再利用 Jacobi 符号的乘法性 合并各项. 指数的奇偶性化简为 .

5. 相关概念

• Legendre 符号
• 二次剩余
• 同余方程组

6. 术语翻译

中文	英文
Jacobi 符号	Jacobi symbol

初等数论