整数模 $n$ 环

1. 概述

于 环论 中, 整数模 环 是以模 同余类为元素、按代表元进行加法与乘法得到的有限 交换环. 它同时是 整数环 对 主理想 的 商环.

2. 定义

定义 1 (整数模 环)

设 . 在模 同余 的 等价类 集合 上定义 二元运算：

称所得 交换环 为 整数模 环.

3. 例子

例子 2 ()

在 整数模 环 中, , 因而 与 都是 零因子. 单位为 与 .

4. 相关性质

命题 3 ( 中的单位)

设 , 则 是 单位 当且仅当 .

证明 4 ( 中的单位)

充分性 ( )

若 是单位, 则存在 使 , 因而存在 使 , 所以 .

必要性 ( )

若 , 由 Bézout 等式存在 使 , 故 .

命题 5 ( 为域的判别)

对 , 以下条件等价：

1. 是 域;
2. 是 整环;
3. 是 素数.

证明 6 ( 为域的判别)

任意域都是整环.

若 且 , 则 , 与整环无零因子矛盾.

若 为素数, 则每个 都满足 ; 由 中的单位, 每个非零同余类都是单位.

5. 相关概念

• 整数模 加法群
• 整数环
• 商环
• 有限域

6. 术语翻译

中文	英文
整数模 环	integers modulo ring