Mersenne 数

1. 概述

于 初等数论 中, Mersenne 数 是比 的正整数次幂小 的整数. 这族数具有简单的因式分解规律, 并包含全部 Mersenne 素数.

2. 定义

定义 1 (Mersenne 数)

设 . 称：

为第 个 Mersenne 数.

记号 2 (Mersenne 数)

第 个 Mersenne 数 通常记为 .

3. 例子

例子 3 (开头的 Mersenne 数)

、、、、 是开头的五个 Mersenne 数.

4. 相关性质

命题 4 (Mersenne 数的整除性)

设 . 若 , 则 .

证明 5 (Mersenne 数的整除性)

写 , 其中 . 则：

故 整除 .

命题 6 (Mersenne 数为素数的必要条件)

设 . 若 是 素数, 则 是素数.

证明 7 (Mersenne 数为素数的必要条件)

由 反证法, 假设 是 合成数, 则存在 使 且 . 由 Mersenne 数 的定义与 Mersenne 数的整除性, ; 同时 , 因而 不是素数, 矛盾.

5. 相关概念

• Mersenne 素数
• 素数
• 合成数

6. 术语翻译

中文	英文
Mersenne 数	Mersenne number

初等数论