合成数

1. 概述

于 初等数论 中, 合成数 是大于 且不是 素数 的 自然数. 等价地, 合成数可以分解为两个都严格介于 与自身之间的正整数之积.

2. 定义

定义 1 (合成数)

设 且 . 称 为 合成数, 当 不是 素数.

定义 2 (以乘积分解定义合成数)

设 且 . 称 为 合成数, 当存在 使：

别名 3 (合成数)

定义 1 (合成数) 亦称为 合数.

3. 例子

例子 4 (初步例子)

• 都是 合成数;
• 既不是素数也不是合成数;
• 不是合成数, 因为它是 素数.

4. 相关性质

命题 5 (两种合成数定义等价)

合成数 与 以乘积分解定义合成数 等价.

证明 6 (两种合成数定义等价)

充分性 ( )

若 不是素数, 则它存在不同于 的正因数 . 写 , 则 ; 同时 , 故 .

必要性 ( )

若 且 , 则 是 的非平凡正因数, 所以 不是素数.

命题 7 (素数与合成数的二分)

每个大于 的 自然数 恰为 素数 或 合成数 之一.

证明 8 (素数与合成数的二分)

由 合成数 的定义, 大于 的自然数是合成数当且仅当它不是素数, 因而两种情形恰有一种成立.

命题 9 (合成数的小因数)

若 为 合成数, 则存在正因数 使 .

证明 10 (合成数的小因数)

由 以乘积分解定义合成数 可知, 合成数 可写为 , 其中 . 不妨设 , 则 , 故 . 取 即得结论.

5. 相关概念

• 素数
• 因数
• 算术基本定理

6. 术语翻译

中文	英文
合成数 / 合数	composite number

初等数论