参数曲线

1. 概述

于 数学分析 中, 参数曲线 用一个实参数描述 Euclid 空间 中点的位置变化. 导数给出切向速度, 而速度的范数控制弧长与 曲线积分.

2. 定义

定义 1 (参数曲线)

设 , 称 映射：

为一条 参数曲线. 若 对所有 成立, 则称该参数曲线正则.

记号 2 (参数曲线)

参数曲线 的像记为 , 向量 称为其在参数 处的速度向量.

3. 例子

例子 3 (线段与圆周)

• 对 , 映射 , 是连接 与 的 参数曲线;
• 映射 , 是单位圆周的正则参数曲线.

4. 相关性质

定理 4 (参数曲线的弧长公式)

设 为 参数曲线. 对分割 定义折线长度 . 则：

证明 5 (参数曲线的弧长公式)

对 参数曲线 逐分量应用微积分基本定理, 有 , 故 . 反之, 在紧区间上一致连续. 对充分细的分割及标签 , 每条弦与 的误差总和趋于 , 而 趋于相应的 Riemann 积分. 因而上确界不小于右端.

5. 相关概念

• 曲线积分;
• 向量值函数;
• 全微分;
• Euclid 空间.

6. 术语翻译

中文	英文
参数曲线	parametric curve
正则参数曲线	regular parametric curve
弧长	arc length
速度向量	velocity vector

数学分析