高阶导数与 Hessian

1. 概述

于 数学分析 中, 高阶导数与 Hessian 记录多元函数的二阶及更高阶变化. 二阶导数形成的 Hessian 矩阵控制局部曲率, 并用于 多元函数的极值 的判别.

2. 定义

定义 1 (高阶导数与 Hessian)

设 为开集, 为 映射, . 对 , 若 在 处可作 次 全微分, 递归得到的 -线性映射记为 , 称为 在 处的 阶导数. 当 且所有二阶 偏导数 在 处存在时, 定义 Hessian 矩阵：

若 在 处二阶可微, 则二阶全微分 是满足 的双线性映射.

记号 2 (高阶导数与 Hessian)

Hessian 矩阵 也记为 . 三阶及更高阶导数记为 .

3. 例子

例子 3 (二次函数)

对 , 有：

该矩阵正定, 因而原点是 的严格局部极小点.

4. 相关性质

命题 4 (混合偏导数的对称性)

若 的二阶偏导数在 的某邻域内连续, 则 Hessian 矩阵 对称：

证明 5 (混合偏导数的对称性)

由混合偏导数交换定理, 连续的二阶偏导数可以交换求导次序, 逐个比较矩阵的 与 元素即得.

定理 6 (二阶 Taylor 近似)

若 在 的邻域内为 , 则当 时：

5. 相关概念

• 偏导数;
• 全微分;
• 多元 Taylor 公式;
• 多元函数的极值.

6. 术语翻译

中文	英文
高阶导数	higher-order derivative
Hessian 矩阵	Hessian matrix
二阶全微分	second differential
正定	positive definite

数学分析