Noether 模

1. 概述

于 模论 中, Noether 模 是子模不可能无限严格增长的 -模. 它把有限生成性推广为对全部子模同时成立的有限性条件.

2. 定义

定义 1 (Noether 模)

设 为 -模. 若 的每个 子模 都是 有限生成模, 则称 为 Noether 模.

3. 例子

例子 2 (有限维线性空间)

域 上的每个 有限维线性空间 都是 Noether 模, 因为其每个子空间仍有限维.

4. 相关性质

定理 3 (Noether 模的等价条件)

设 为 -模. 下列条件等价：

1. 是 Noether 模;
2. 的任意 子模 升链最终稳定;
3. 的任意非空子模族都有极大元.

证明 4 (Noether 模的等价条件)

由链中全部子模的并有限生成, 其生成元已包含于链中某一项, 故链稳定.

若某非空子模族无极大元, 可逐次选取严格增大的子模, 与升链稳定矛盾.

对任意子模 , 取 的有限生成子模族中的极大元 . 若 , 加入 中一个元素便得到更大的有限生成子模, 矛盾.

5. 相关概念

• 有限生成模
• Noether 环
• Noether 模的等价条件
• Artin 模

6. 术语翻译

中文	英文
Noether 模	Noetherian module