子模

1. 概述

于 模论 中, 子模 是在加法与标量乘法下封闭的 -模 子集. 它同时推广了 子群、理想 与线性空间中的线性子空间.

2. 定义

定义 1 (子模)

设 为左 -模, . 若 在 的加法与标量乘法下自身构成左 -模, 则称 为 的 子模.

记号 2 (子模)

子模 关系写作 ; 不强调环时简写为 .

3. 例子

例子 3 (理想与线性子空间)

• 环 的 理想 是左 -模 的 子模;
• 域 上 线性空间 的线性子空间是其作为 -模时的子模.

4. 相关性质

命题 4 (子模判别法)

设 为左 -模, 非空子集 是 子模, 当且仅当对任意 与 ：

证明 5 (子模判别法)

充分性 ( )

若 是 子模, 则其对减法与标量乘法封闭, 故条件成立.

必要性 ( )

取 , 由 得零元属于 ; 再由 得加法逆元封闭. 条件还给出加法与标量乘法封闭, 其余模公理继承自 .

命题 6 (子模的交)

任意一族 子模 的交仍为子模.

5. 相关概念

• -模
• 生成子模
• 商模
• 理想

6. 术语翻译

中文	英文
子模	submodule