求值同态

1. 概述

于 环论 中, 求值同态 把 多项式环 的不定元代入指定元素, 从形式表达式得到环中的值. 它将点处取值与 核、商环 联系起来.

2. 定义

定义 1 (求值同态)

设 为 交换环, . 将 多项式环 的每个多项式 送至 的 环同态 称为在 处的 求值同态.

记号 2 (求值同态)

在 处的 求值同态 记为：

3. 例子

例子 3 (仿射直线上的取值)

设 为 域, . 求值同态 把 中的 送到 ; 特别地, 在 时取值为 .

4. 相关性质

命题 4 (求值同态的核)

设 为 域, . 求值同态 满足：

1. 是 环同态;
2. 是满射;
3. 其 核 为 主理想 .

证明 5 (求值同态的核)

1. 对 , 逐项代入得 、、, 因而 求值同态 保持加法、乘法与幺元.
2. 每个 是常数多项式 的像, 故 满射.
3. 由 多项式带余除法, , 其中 ; 代入 得 . 因此 当且仅当 , 故 核 为 .
   

由 线性因子商环同构, ; 此处商环是点的 剩余域, 不是经 局部化 得到的 局部环 .

5. 相关概念

• 多项式环
• 主理想
• 商环
• 剩余域
• 点处局部环

6. 术语翻译

中文	英文
求值同态	evaluation homomorphism