公倍数

1. 概述

于 环论 中, 公倍数 是同时被若干元素整除的环元素.

2. 定义

定义 1 (公倍数)

设 为 交换环, . 称 为 的 公倍数, 当对每个 都有 .

3. 例子

例子 2 (整数中的公倍数)

在 整数环 中, 都是 与 的 定义 1 (公倍数).

4. 相关性质

命题 3 (公倍数与主理想)

设 为 交换环, . 则 是这些元素的 定义 1 (公倍数) 当且仅当：

证明 4 (公倍数与主理想)

充分性 ( )

若 是 公倍数, 则对每个 都有 , 因而 . 所以 .

必要性 ( )

若 , 则 对每个 成立, 因而 . 所以 是公倍数.

5. 相关概念

• 最小公倍数
• 整除

6. 术语翻译

中文	英文
公倍数	common multiple