公因数

1. 概述

于 环论 中, 公因数 是同时整除若干元素的环元素.

2. 定义

定义 1 (公因数)

设 为 交换环, . 称 为 的 公因数, 当对每个 都有 .

3. 例子

例子 2 (整数中的公因数)

在 整数环 中, 都是 与 的 定义 1 (公因数).

4. 相关性质

命题 3 (公因数与生成理想)

设 为 交换环, . 则 是这些元素的 定义 1 (公因数) 当且仅当：

证明 4 (公因数与生成理想)

充分性 ( )

若 是 公因数, 则每个 , 因而包含所有 的最小理想 包含于 .

必要性 ( )

若 , 则每个 , 所以 , 即 是公因数.

5. 相关概念

• 最大公因数
• 整除

6. 术语翻译

中文	英文
公因数	common divisor