1. 概述 于 线性代数 中, 线性方程组 是求给定 线性映射 的原像的计算形式. 2. 定义 定义 1 (线性方程组) 设 为 域, 为 矩阵, . 关于未知向量 的方程 称为 线性方程组; 时称为齐次线性方程组. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 在 上, 线性方程组 的解为 . 齐次方程 的解为 , 是 线性子空间. 4. 相关性质 命题 3 (解的结构) 设 线性方程组 有一个解 . 则其全部解为 , 其中 线性映射 , 为其 核. 证明 4 (解的结构) 等价于 . 因而 恰好属于 核. 命题 5 (有解判别) 域 上的 线性方程组 有解当且仅当增广矩阵 与 的 秩 相等. 证明 6 (有解判别) 充分性 ( ) 有解时 是 的列向量的 线性组合, 添入此列不改变生成空间的维数. 必要性 ( ) 两个列生成空间有包含关系且维数相同, 因而相等. 故 在 的列生成空间中, 给出所需系数即解. 5. 相关概念 高斯消元 核 矩阵的秩 6. 术语翻译 中文英文线性方程组linear system