更细与更粗的拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 更细与更粗的拓扑 比较同一集合上两个拓扑所包含的 开集 数量. 更细的拓扑提供更多局部区分, 但使映入该空间的连续性条件更强.

2. 定义

定义 1 (更细与更粗的拓扑)

设 为 集合 上的拓扑. 若 , 则称 细于 , 并称 粗于 .

3. 例子

例子 2 (最细与最粗拓扑)

按 更细与更粗的拓扑 的定义, 对任意 集合 , 离散拓扑 细于 上每个拓扑, 而 平凡拓扑 粗于 上每个拓扑.

4. 相关性质

命题 3 (以恒等映射刻画拓扑的细粗)

设 为 上的拓扑. 则按 更细与更粗的拓扑 的定义, 细于 当且仅当恒等 映射：

为 连续映射.

证明 4 (以恒等映射刻画拓扑的细粗)

充分性 ( )

若 , 则每个 -开集在恒等映射下的原像仍是自身, 因而属于 .

必要性 ( )

若恒等映射连续, 则每个 的原像 都属于 , 故 .

5. 相关概念

• 初始拓扑
• 终拓扑
• 连续映射
• 离散拓扑

6. 术语翻译

中文	英文
更细拓扑	finer topology
更粗拓扑	coarser topology

一般拓扑