初始拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 初始拓扑 是定义域上使一族给定映射连续的最粗拓扑. 子空间拓扑与积拓扑都是初始拓扑的特例.

2. 定义

定义 1 (初始拓扑)

设 为 集合, 为一族 拓扑空间, 为 映射. 称以：

为 拓扑子基 生成的拓扑为由 诱导的 初始拓扑.

3. 例子

例子 2 (子空间与积拓扑)

子空间拓扑 是由包含映射诱导的 初始拓扑, 积拓扑 是由各坐标投影诱导的初始拓扑.

4. 相关性质

命题 3 (初始拓扑的泛性质)

设 带有由 诱导的 初始拓扑, 为 拓扑空间, 为 映射. 则 连续 当且仅当每个 连续, 使得下图 交换：
\xymatrix{
Z \ar[r]^{g} \ar[dr]_{f_i\circ g} & X \ar[d]^{f_i} \
& Y_i
}

证明 4 (初始拓扑的泛性质)

充分性 ( )

由 连续映射的基本性质 的 (2) 得到.

必要性 ( )

每个 子基元素 在 下的原像为 , 因而开.

5. 相关概念

• 终拓扑
• 子空间拓扑
• 积拓扑
• 拓扑子基

6. 术语翻译

中文	英文
初始拓扑	initial topology / weak topology

一般拓扑