商映射

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 商映射 是余域拓扑恰由定义域通过满射推出的映射. 它是构造商空间时的典范映射.

2. 定义

定义 1 (商映射)

设 为 拓扑空间, 为 满射. 若对每个 ：

则称 为 商映射.

3. 例子

例子 2 (商空间的典范投影)

若等价类集合 带有由典范投影 诱导的 商拓扑, 则 是 商映射.

4. 相关性质

命题 3 (开满射与闭满射是商映射)

设 为连续 满射. 若 是 开映射 或 闭映射, 则 是 商映射.

证明 4 (开满射与闭满射是商映射)

连续性给出 开蕴含 开. 反之, 若 开且 为开映射, 则由满射性 开. 若 为闭映射, 对补集使用 .

命题 5 (商映射的下降判据)

设 为 商映射, 为 映射. 则 连续当且仅当 连续.

证明 6 (商映射的下降判据)

由 商拓扑的泛性质 得证.

5. 相关概念

• 商拓扑
• 终拓扑
• 开映射
• 闭映射

6. 术语翻译

中文	英文
商映射	quotient map

一般拓扑