良定义

1. 概述

于数学中, 良定义 表示一个规则对每个允许的输入都给出确定且合法的输出. 当对象具有多种表示方式时, 还必须保证输出不依赖所选表示.

2. 定义

定义 1 (良定义)

设 为 集合, 一个从 中元素到 中元素的对应规则称为 良定义, 当该规则为每个 指定唯一的 , 从而确实给出一个 映射 .

定义 2 (商集上规则的良定义)

设 为 集合, 为 上的 等价关系, 为 映射. 规则 在 商集 上 良定义, 当：

3. 例子

例子 3 (有理数表示)

每个 有理数 都可以写成多个分数, 例如 . 规则 与分数表示无关, 因而是 良定义 的; 规则 则不是良定义的, 因为同一有理数的两种表示可给出不同结果.

例子 4 (商集上的诱导运算)

设 为 集合, 为 上的 二元运算, 为与 满足 兼容性 的 等价关系. 则规则：

在 商集 上满足 良定义.

4. 相关性质

命题 5 (商集上良定义的判据)

设 为 集合, 为 上的 等价关系, 为 映射. 则 在 商集 上 良定义 当且仅当 在每个等价类上取常值.

证明 6 (商集上良定义的判据)

“在每个等价类上取常值”正是 蕴含 , 与 良定义 的条件相同.

命题 7 (复合保持良定义)

设 为 集合, 与 为 良定义 的 映射, 则其 复合 仍为良定义的映射.

证明 8 (复合保持良定义)

每个 由 唯一确定 , 再由 唯一确定 , 因而复合规则对每个输入给出唯一输出.

5. 相关概念

• 映射
• 等价关系
• 商集
• 兼容性
• 存在性
• 唯一

6. 术语翻译

中文	英文
良定义	well-defined
良定义性	well-definedness

一般数学 良好性质