唯一

1. 概述

于 逻辑学 中, 唯一性 表示满足指定条件的对象至多有一个. 若再结合 存在性, 就得到“存在唯一”的结论.

2. 定义

定义 1 (唯一性)

设 为 集合, 为 上的 谓词. 称满足 的元素具有 唯一性, 当：

该条件只保证满足 的元素至多有一个, 并不单独保证其 存在性.

定义 2 (唯一存在)

设 为 集合, 为 上的 谓词. 称满足 的元素 存在唯一, 当：

等价地, 满足 的元素同时具有 存在性 与 唯一性.

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 任意 群 的幺元 存在唯一;
• 偏序集 的任意 子集 若存在 最小元, 则该最小元具有 唯一性;
• 方程 在 实数 集合 中有两个解, 因而其实数解不具有唯一性.

4. 相关性质

命题 4 (唯一存在的分解)

设 为 集合, 为 上的 谓词. 则：

证明 5 (唯一存在的分解)

充分性 ( )

由 可取满足 的元素 , 故满足 存在性. 若 均满足 , 则由 的 唯一性 有 , 因而 .

必要性 ( )

由存在性可取 使 成立. 对任意满足 的 , 由唯一性条件有 , 故 是唯一满足 的元素, 即 .

命题 6 (以唯一原像刻画单射)

设 为 集合, 为 映射. 则 为 单射 当且仅当对每个 , 满足 的 至多有一个.

证明 7 (以唯一原像刻画单射)

条件“ 蕴含 ”正是每个 至多对应一个 , 也就是解 的 唯一性.

5. 相关概念

• 存在性
• 存在量词
• 谓词
• 单射

6. 术语翻译

中文	英文
唯一性	uniqueness
唯一存在	unique existence

一般数学 逻辑性质