分次环

1. 概述

于 交换代数 中, 分次环 把环分解为按次数编号的加法子群, 且乘法保持次数相加. 多项式环的次数分解是射影几何中齐次坐标环的基础.

2. 定义

定义 1 (非负分次环)

设 为 环. 若存在加法子群 , 使：

1. ;
2. 对任意 , 有 ;
   则称 为 非负分次环.

记号 2 (分次环)

非负分次环 通常写作 , 中的非零元素称为次数 的齐次元素; 零元不指定次数.

3. 例子

例子 3 (多项式环)

多项式环 按总次数分解为 非负分次环, 其中 是次数 的 齐次多项式 全体连同零元.

4. 相关性质

命题 4 (齐次分解唯一)

在 非负分次环 中, 每个元素 都唯一写成有限和 , 其中 .

证明 5 (齐次分解唯一)

存在性

由 非负分次环 的加法群内直和分解, 每个 都可写成有限和 , 其中 .

唯一性

若 , 则 . 由直和分解的定义性质, 对每个 都有 , 故 .

5. 相关概念

• 齐次多项式
• 齐次理想
• 构造
• 多项式环

6. 术语翻译

中文	英文
分次环	graded ring